Provas resolvidas › ENEM 2016 · 3ª aplicação

ENEM 2016 · 3ª aplicação · Questão 176

Matemática e suas Tecnologias · Dado um poliedro, analise o nº de faces, arestas e/ou vértices

Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler $V-A+F=2$ , em que $V$ , $A$ e $F$ são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.

Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

A $2V-4F=4$
B $2V-2F=4$
C $2V-F=4$
D $2V+F=4$
E $2V+5F=4$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $2V-F=4$

A ideia: Conte incidências entre faces triangulares e arestas e substitua na fórmula de Euler.

Resolução. Cada face triangular tem três arestas, e cada aresta pertence a duas faces. Logo, $3F=2A$ , ou $A=3F/2$ . Pela relação de Euler, $V-A+F=2$ . Substituindo: $V-3F/2+F=2$ , então $V-F/2=2$ . Multiplicando por 2: $2V-F=4$ .

Onde a galera erra: A alternativa B perde o fator 2 ao contar as arestas compartilhadas.

Leve para a prova: Ao contar arestas por faces, divida por 2 para evitar contagem dupla.

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