ENEM 2017 · Questão 136

Matemática e suas Tecnologias · Parcelas e juros compostos: traga tudo para a mesma data

Dificuldade TRI: b = 4,14 (difícil)

Um empréstimo foi feito à taxa mensal de $i\%$ , usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a $P$ .

O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.

A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é

A $P\left[1+\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]$
B $P\left[1+\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{2i}{100}}\right]$
C $P\left[1+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}\right]$
D $P\left[\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{2i}{100}}+\frac{1}{1+\frac{3i}{100}}\right]$
E $P\left[\frac{1}{1+\frac{i}{100}}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{i}{100}\right)^3}\right]$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $P\left[1+\dfrac{1}{1+\dfrac{i}{100}}+\dfrac{1}{\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^2}\right]$ .

A ideia: no dia do pagamento da sexta parcela, apenas as parcelas sete e oito precisam ser trazidas do futuro para o presente.

Resolução. Depois de pagar a quinta parcela, ainda faltam a sexta, a sétima e a oitava. A quitação acontece no momento em que a sexta vence.

A sexta parcela vale $P$ nessa data, pois não será antecipada. A sétima vence um mês depois, então seu valor atual é

$\dfrac{P}{1+\dfrac{i}{100}}$ .

A oitava vence dois meses depois, então seu valor atual é

$\dfrac{P}{\left(1+\dfrac{i}{100}\right)^2}$ .

Some os três pagamentos na data da sexta prestação e coloque $P$ em evidência. Obtém-se exatamente a expressão da resposta.

Visualize:

Quitação na data da 6ª parcela. Parcela, Espera, Valor atual. q = 1 + i/100

Onde a galera erra: marcar E, descontando também a sexta parcela. Ela vence naquele dia, portanto não recebe desconto de um mês.

Leve para a prova: desenhe a linha do tempo: parcela vencendo hoje não é descontada; cada parcela futura é dividida pelo fator acumulado até hoje.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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