ENEM 2017 · Questão 137

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 4,66 (difícil)

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação ( $P$ ) é calculado em função do número de prestações ( $n$ ) segundo a fórmula

$P=\frac{5\,000\times 1,013^n\times 0,013}{(1,013^n-1)}$

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

A12.
B14.
C15.
D16.
E17.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: o valor máximo da prestação é R$ 400,00. Use esse teto para encontrar a menor quantidade inteira de parcelas.

Resolução. Na fórmula fornecida, chame $1{,}013^n$ de $x$ . Como $5\,000\cdot0{,}013=65$ , a prestação fica

$P=\dfrac{65x}{x-1}$ .

O limite pedido é $P\le400$ . Como $x>1$ , podemos multiplicar sem inverter o sinal:

$65x\le400(x-1)$ .

$335x\ge400\Rightarrow x\ge\dfrac{400}{335}$ .

Voltando à potência,

$1{,}013^n\ge\dfrac{400}{335}$ .

Aplicando logaritmos:

$n\ge\dfrac{\log(400)-\log(335)}{\log(1{,}013)}\approx\dfrac{2{,}602-2{,}525}{0{,}005}=15{,}4$ .

Com as aproximações fornecidas, o primeiro inteiro acima de 15,4 é 16, correspondente à letra registrada.

Observação: com calculadora, sem arredondar, 14 parcelas já deixariam a prestação abaixo de R$ 400,00 ( $P(14)\approx392{,}94$ ). Mas a prova manda usar os logaritmos aproximados que ela fornece, e com eles a resposta oficial é 16. No ENEM, use sempre os valores que o enunciado dá.

Onde a galera erra: arredondar o limite aproximado de 15,4 para baixo. Nesse cálculo, é necessário tomar o próximo inteiro; a divergência com a conta exata está explicada abaixo.

Leve para a prova: em problemas com quantidade inteira mínima, respeite a desigualdade: o resultado decimal indica o limite, não a resposta inteira automaticamente.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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