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ENEM 2017 · Questão 140

Matemática e suas Tecnologias · Dimensões de uma caixa

Dificuldade TRI: b = 3,71 (difícil)

Um garçom precisa escolher uma bandeja de base retangular para servir quatro taças de espumante que precisam ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja, e com suas bases totalmente apoiadas na bandeja. A base e a borda superior das taças são círculos de raio 4 cm e 5 cm, respectivamente.

Figura da questão

A bandeja a ser escolhida deverá ter uma área mínima, em centímetro quadrado, igual a

  1. A192.
  2. B300.
  3. C304.
  4. D320.
  5. E400.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: As bases precisam caber inteiras na bandeja, mas as bordas maiores das taças não podem se sobrepor. Isso determina um espaçamento entre os centros maior que o diâmetro das bases.

Resolução. Na imagem, a base da taça tem raio 4 cm, enquanto a borda superior tem raio 5 cm. A bandeja pode ter largura mínima igual ao diâmetro da base, ou seja, 2⋅4=82\cdot4=8 cm. Em uma fileira de quatro taças, a distância entre centros consecutivos deve ser ao menos 5+5=105+5=10 cm, para as bordas não se cruzarem. Há três intervalos entre os quatro centros, e a primeira e a última base exigem mais 4 cm em cada ponta. O comprimento mínimo fica 4+3⋅10+4=384+3\cdot10+4=38 cm. A área é 8⋅38=3048\cdot38=304 centímetros quadrados.

Visualize: Vista superior em escala: quatro bases de raio 4 inteiramente apoiadas em bandeja 38 por 8 cm; bordas superiores de raio 5 tracejadas, tangentes entre si e podendo ultrapassar a bandeja.

Construção auxiliar de enem-2017-q140

Onde a galera erra: A alternativa A fornece apenas 192 centímetros quadrados. Com a largura mínima de 8 cm, isso daria 24 cm de comprimento, insuficientes para os 38 cm exigidos pelos espaçamentos entre as bordas.

Leve para a prova: Em problemas de encaixe, confira simultaneamente a parte apoiada e a maior seção transversal do objeto.

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