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ENEM 2017 · Questão 143

Matemática e suas Tecnologias · Escolher grupos: combinação, arranjo ou permutação?

Dificuldade TRI: b = 1,75 (média)

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Figura da questão

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

  1. AC6,4C_{6,4}
  2. BC9,3C_{9,3}
  3. CC10,4C_{10,4}
  4. D646^4
  5. E464^6
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) C9,3C_{9,3}.

A ideia: como trocar os carrinhos de posição não cria outro modelo, precisamos contar somente quantos carrinhos recebem cada cor. É uma distribuição de objetos iguais entre quatro categorias, com pelo menos um em cada.

Resolução. Chame as quantidades de carrinhos amarelos, brancos, laranjas e verdes de quatro números positivos cuja soma é 10.

Reserve um carrinho obrigatório para cada cor. Sobram 6 carrinhos para distribuir livremente entre as quatro cores; agora é permitido que uma delas receba zero adicional.

O número de distribuições não negativas de 6 unidades por quatro categorias é uma combinação com repetição:

(6+4−14−1)=(93)\binom{6+4-1}{4-1}=\binom{9}{3}.

Na figura, o caminhão já traz dez carrinhos, mas a posição deles não importa na contagem: só importa a composição de cores.

Onde a galera erra: marcar (C), escolhendo diretamente quatro dos dez carrinhos; isso não representa quantos cada cor recebe.

Leve para a prova: para distribuir nn objetos indistinguíveis entre kk categorias com pelo menos um em cada, use (n−1k−1)\binom{n-1}{k-1}.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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