ENEM 2017 · Questão 153

Matemática e suas Tecnologias · Círculos Tangentes

Dificuldade TRI: b = 0,21 (fácil)

A manchete demonstra que o transporte de grandes cargas representa cada vez mais preocupação quando feito em vias urbanas.

Caminhão entala em viaduto no Centro

Um caminhão de grande porte entalou embaixo do viaduto no cruzamento das avenidas Borges de Medeiros e Loureiro da Silva no sentido Centro-Bairro, próximo à Ponte de Pedra, na capital. Esse veículo vinha de São Paulo para Porto Alegre e transportava três grandes tubos, conforme ilustrado na foto.

Disponível em: www.caminhoes-e-carretas.com. Acesso em: 21 maio 2012 (adaptado).

Considere que o raio externo de cada cano da imagem seja 0,60 m e que eles estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo. O desenho representa a vista traseira do empilhamento dos canos.

A margem de segurança recomendada para que um veículo passe sob um viaduto é que a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto.

Considere 1,7 como aproximação para $\sqrt{3}$ .

Qual deveria ser a altura mínima do viaduto, em metro, para que esse caminhão pudesse passar com segurança sob seu vão?

A2,82
B3,52
C3,70
D4,02
E4,20

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: a altura da pilha de círculos não é a soma de três diâmetros. Os centros dos três canos formam um triângulo equilátero, e sua altura determina quanto o cano superior se eleva.

Resolução. Na vista traseira, os dois canos inferiores têm centros na mesma altura, a 0,60 m acima da carroceria. Como os canos são tangentes e seus raios valem 0,60 m, a distância entre quaisquer dois centros vizinhos é 1,20 m.

A altura do triângulo equilátero dos centros é $\dfrac{1{,}20\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}60\cdot 1{,}7=1{,}02$ m.

A carga atinge, acima da carroceria, $0{,}60+1{,}02+0{,}60=2{,}22$ m. Somando a altura da carroceria, $1{,}30+2{,}22=3{,}52$ m. A margem de segurança exige mais 0,50 m: $3{,}52+0{,}50=4{,}02$ m.

Visualize: Três tubos tangentes de raio 0,60 m, apoiados em carroceria a 1,30 m do solo. Os centros formam triângulo equilátero; usando √3≈1,7, topo a 3,52 m e vão mínimo 4,02 m. Desenho geométrico usa √3 exato.

Construção auxiliar de enem-2017-q153

Onde a galera erra: marcar B (3,52 m) ao achar a altura do caminhão e esquecer a folga exigida sob o viaduto.

Leve para a prova: em círculos tangentes, una os centros para encontrar triângulos conhecidos; só depois some raios, alturas de apoio e margens de segurança.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago