ENEM 2017 · Questão 160
Matemática e suas Tecnologias · Colorir regiões sem repetir cores vizinhas: quantas maneiras?
Dificuldade TRI: b = 1,82 (média)O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
Disponível em: www.pt.fifa.com. Acesso em: 19 nov. 2013 (adaptado).
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
- A15
- B30
- C108
- D360
- E972
Ver a resposta e a resolução
Resposta: E
A ideia: As seis regiões formam uma árvore de adjacências: cada região acrescentada tem exatamente uma vizinha já pintada.
Resolução. A região central arredondada toca as duas superiores e a de baixo; esta se liga às duas regiões da base, em sequência. São seis regiões e cinco contatos, sem ciclos.
Escolhida a primeira cor entre quatro, cada nova região tem três opções, pois a cor da única vizinha já pintada fica proibida. Portanto, .
Essa é a leitura de quatro cores disponíveis usada em E. Exigir o uso de todas mudaria a contagem, conforme a observação abaixo.
Visualize: Esquema das seis regiões e seus cinco contatos; os nós não reproduzem o contorno da marca.
Observação: aqui, "utilizar as quatro cores" quer dizer ter as quatro à disposição, não que todas apareçam em cada pintura. Se fosse obrigatório aparecerem as quatro, a contagem daria 600, que não está nas alternativas.
Onde a galera erra: Proibir reutilizar uma cor em regiões que não são vizinhas, restrição diferente da de adjacência.
Leve para a prova: Sem ciclos, escolha a cor inicial e exclua a cor da única vizinha já pintada a cada etapa.
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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.
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