ENEM 2017 · Questão 161

Matemática e suas Tecnologias · Dado um problema, determine a função de segundo grau

Dificuldade TRI: b = 2,6 (difícil)

Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Quais devem ser os valores de $X$ e de $Y$ , em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

A1 e 49
B1 e 99
C10 e 10
D25 e 25
E50 e 50

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: os 100 metros de tela cercam as quatro laterais. A altura é fixa, então maximizar a área da base equivale a equilibrar os dois lados do retângulo.

Resolução. A figura indica o comprimento $X$ e a largura $Y$ da base. Como a tela cerca todo o contorno, o perímetro é

$2X+2Y=100$ , ou seja, $X+Y=50$ .

A área é $A=X\cdot Y$ . Substituindo $Y=50-X$ , temos

$A(X)=X(50-X)=50X-X^2$ .

Essa parábola abre para baixo. Seu máximo fica no meio das raízes, 0 e 50: $X=25$ . Então $Y=50-25=25$ .

A área máxima é $25\cdot25=625$ metros quadrados. É o formato de base quadrada, com lados iguais.

Onde a galera erra: marcar E, 50 e 50, esquecendo que são duas laterais de cada medida. O perímetro seria 200 metros, o dobro da tela disponível.

Leve para a prova: entre retângulos de mesmo perímetro, o quadrado tem a maior área.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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