ENEM 2017 · Questão 162

Matemática e suas Tecnologias · Equação ou inequação no plano cartesiano: qual figura é essa?

Dificuldade TRI: b = 2,51 (difícil)

O fisiologista inglês Archibald Vivian Hill propôs, em seus estudos, que a velocidade $v$ de contração de um músculo ao ser submetido a um peso $p$ é dada pela equação $(p+a)(v+b)=K$ , com $a$ , $b$ e $K$ constantes. Um fisioterapeuta, com o intuito de maximizar o efeito benéfico dos exercícios que recomendaria a um de seus pacientes, quis estudar essa equação e a classificou desta forma:

Tipo de curva
Semirreta oblíqua
Semirreta horizontal
Ramo de parábola
Arco de circunferência
Ramo de hipérbole

O fisioterapeuta analisou a dependência entre $v$ e $p$ na equação de Hill e a classificou de acordo com sua representação geométrica no plano cartesiano, utilizando o par de coordenadas $(p;v)$ . Admita que $K>0$ . Disponível em: http://rspb.royalsocietypublishing.org. Acesso em: 14 jul. 2015 (adaptado). O gráfico da equação que o fisioterapeuta utilizou para maximizar o efeito dos exercícios é do tipo

Asemirreta oblíqua.
Bsemirreta horizontal.
Cramo de parábola.
Darco de circunferência.
Eramo de hipérbole.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: isole uma das variáveis na equação de Hill. O produto de duas expressões lineares igual a uma constante positiva gera a estrutura de uma hipérbole, não de uma reta.

Resolução. O modelo fornecido é $(p+a)(v+b)=K$ , com $K>0$ . Dividindo por $p+a$ , obtemos

$v+b=\dfrac{K}{p+a}$ e, portanto, $v=\dfrac{K}{p+a}-b$ .

A velocidade não depende de forma linear do peso: quando $p+a$ cresce, a parcela $\dfrac{K}{p+a}$ diminui. A equação apresenta uma assíntota vertical em $p=-a$ e uma horizontal em $v=-b$ .

Esse é o formato de uma hipérbole deslocada no plano $(p;v)$ . Como peso e velocidade, na situação física, ficam restritos a valores admissíveis, observamos apenas um de seus ramos.

Onde a galera erra: selecionar A, semirreta oblíqua, por enxergar apenas a relação entre duas variáveis e supor que toda dependência tem gráfico retilíneo.

Leve para a prova: quando o produto de duas expressões lineares é constante, isole uma variável: o termo inversamente proporcional revela uma hipérbole.

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