ENEM 2017 · Questão 166

Matemática e suas Tecnologias · Dado o gráfico, determine a função

Dificuldade TRI: b = 2,85 (difícil)

Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo $P(t)=A+B\cos(kt)$ em que $A$ , $B$ e $K$ são constantes reais positivas e $t$ representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.

Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

Pressão mínima	78
Pressão máxima	120
Número de batimentos cardíacos por minuto	90

A função $P(t)$ obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

A $P(t)=99+21\cos(3\pi t)$
B $P(t)=78+42\cos(3\pi t)$
C $P(t)=99+21\cos(2\pi t)$
D $P(t)=99+21\cos(t)$
E $P(t)=78+42\cos(t)$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $P(t)=99+21\cos(3\pi t)$ .

A ideia: a pressão máxima e a mínima determinam a linha média e a amplitude da onda. Os 90 batimentos por minuto determinam o período.

Resolução. Os extremos são 120 e 78. A altura central da oscilação é a média:

$A=\dfrac{120+78}{2}=99$ .

A amplitude é metade da diferença: $B=\dfrac{120-78}{2}=21$ .

Um minuto tem 60 segundos. Com 90 batimentos por minuto, o tempo de um batimento é $T=\dfrac{60}{90}=\dfrac{2}{3}$ de segundo.

A função cosseno faz um ciclo quando seu argumento cresce $2\pi$ . Assim, $k=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2/3}=3\pi$ .

Como a expressão começa no máximo, o cosseno positivo serve: $P(t)=99+21\cos(3\pi t)$ . Em $t=0$ , a pressão vale 120, confirmando o resultado.

Onde a galera erra: marcar B, tomando 78 como linha média e 42 como amplitude. Isso produziria mínimo 36, incompatível com os dados.

Leve para a prova: numa oscilação, média dos extremos é o eixo central; metade da diferença é a amplitude.

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