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ENEM 2017 · Questão 167

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 1,34 (fácil)

Para decorar uma mesa de festa infantil, um chefe de cozinha usará um melão esférico com diâmetro medindo 10 cm, o qual servirá de suporte para espetar diversos doces. Ele irá retirar uma calota esférica do melão, conforme ilustra a figura, e, para garantir a estabilidade deste suporte, dificultando que o melão role sobre a mesa, o chefe fará o corte de modo que o raio rr da seção circular de corte seja de pelo menos 3 cm. Por outro lado, o chefe desejará dispor da maior área possível da região em que serão afixados os doces.

Figura da questão

Para atingir todos os seus objetivos, o chefe deverá cortar a calota do melão numa altura hh, em centímetro, igual a

  1. A5−9125-\frac{\sqrt{91}}{2}
  2. B10−9110-\sqrt{91}
  3. C1
  4. D4
  5. E5
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: A superfície para os doces será maior quando retirarmos a menor calota possível. O corte, porém, precisa produzir uma base circular de raio pelo menos 3 cm.

Resolução. O melão tem raio 5 cm. No corte a uma altura hh a partir da base da esfera, o triângulo retângulo formado pelo centro, pelo raio da seção e pela distância vertical ao corte satisfaz r2+(5−h)2=25r^2+(5-h)^2=25. Para preservar a maior superfície, tome o menor raio permitido: r=3r=3. Então (5−h)2=25−9=16(5-h)^2=25-9=16. Como o corte é na calota inferior, 5−h=45-h=4, logo h=1h=1 cm.

Visualize: Seção em escala da esfera de raio 5 cm, corte a 4 cm do centro e raio 3 cm. A calota inferior tem altura h=1 cm.

Construção auxiliar de enem-2017-q167

Onde a galera erra: A alternativa D usa 4 cm, que é a distância do centro ao plano de corte, não a altura da calota retirada.

Leve para a prova: Em seções de esfera, relacione raio da seção, raio da esfera e distância ao centro por Pitágoras.

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