ENEM 2017 · Questão 168

Matemática e suas Tecnologias · Dado o Gráfico, determine a Função

Dificuldade TRI: b = 2,4 (média)

A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura $H$ , em metro, indicada na Figura 2?

A $\frac{16}{3}$
B $\frac{31}{5}$
C $\frac{25}{4}$
D $\frac{25}{3}$
E $\frac{75}{2}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) $\dfrac{25}{3}$ .

A ideia: use a simetria da parábola: a altura máxima fica no eixo central, e a distância horizontal permite montar uma conta curta.

Resolução. Na Figura 2, o eixo vertical passa pelo ponto mais alto da abóbada, de altura $H$ . A base da parábola está a 5 metros desse eixo e tem altura zero. Já a 4 metros do eixo, a altura indicada é de 3 metros.

Escreva a altura como $y=H-ax^2$ , tomando o eixo central como $x=0$ .

No ponto $(5,0)$ :

$0=H-25a$ , então $a=\dfrac{H}{25}$ .

No ponto $(4,3)$ :

$3=H-16\cdot\dfrac{H}{25}=\dfrac{9H}{25}$ .

Logo, $H=\dfrac{3\cdot25}{9}=\dfrac{25}{3}$ metros.

É um pouco mais que 8 metros, coerente com a altura do arco desenhado.

Visualize:

Parábola simétrica com base em x igual a ±5, ponto (4, 3) e vértice (0, 25/3).

Onde a galera erra: a letra C, $\dfrac{25}{4}$ , aparece quando se troca a distância de 4 metros pela de 5 ou se perde a diferença dos quadrados $25-16$ .

Leve para a prova: em uma parábola simétrica, colocar a origem no eixo de simetria simplifica a função para $y=H-ax^2$ .

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