ENEM 2017 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Etapas em sequência: multiplique (ou use o complementar)

Dificuldade TRI: b = 3,04 (difícil)

Numa avenida existem 10 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de $\frac{2}{3}$ e a de acusar a cor vermelha é de $\frac{1}{3}$ . Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos.

Qual a probabilidade de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?

A $\frac{10\times2}{3^{10}}$
B $\frac{10\times2^9}{3^{10}}$
C $\frac{2^{10}}{3^{100}}$
D $\frac{2^{90}}{3^{100}}$
E $\frac{2}{3^{10}}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $\frac{10\times2}{3^{10}}$

A ideia: “Exatamente um verde” exige escolher qual dos dez semáforos será verde e deixar os outros nove vermelhos.

Resolução. Para uma posição específica — por exemplo, apenas o primeiro sinal verde —, a probabilidade é

$\dfrac23\cdot(\dfrac13)^9=\dfrac2{3^{10}}$ .

Mas o único verde pode estar em qualquer um dos dez semáforos. Há 10 possibilidades incompatíveis entre si, todas com a mesma chance. Então:

$P=10\cdot\dfrac23\cdot(\dfrac13)^9=\dfrac{10\cdot2}{3^{10}}$ .

O fator 10 conta a escolha da posição do sinal verde; o fator 2 vem de sua probabilidade $2/3$ . O expoente 9 pertence aos sinais vermelhos.

Onde a galera erra: A alternativa E dá apenas $2/3^{10}$ , como se o verde precisasse ocorrer em uma posição já determinada. O enunciado permite qualquer posição.

Leve para a prova: Em “exatamente $k$ sucessos”, conte também quantas maneiras os sucessos podem ser posicionados.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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