ENEM 2018 · Questão 137

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 3,85 (difícil)

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente $P$ submetido a juros compostos com taxa $i$ , por um período de tempo $n$ , produz um valor futuro $V$ determinado pela fórmula

$V = P \cdot (1 + i)^n$

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utilize 0,2877 como aproximação para $\ln\left(\frac{4}{3}\right)$ e 0,0131 como aproximação para $\ln(1,0132)$ .

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a $30^{\text{a}}$ é a

A $56^{\text{a}}$
B $55^{\text{a}}$
C $52^{\text{a}}$
D $51^{\text{a}}$
E $45^{\text{a}}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) $52^{\text{a}}$ .

A ideia: desconto maior que 25% significa pagar menos que 75% da parcela. Transforme essa condição em uma desigualdade sobre a quantidade de meses antecipados.

Resolução. A parcela futura é de R$ 820,00. Antecipada em $n$ meses, seu valor presente é $P=\dfrac{820}{1{,}0132^n}$ .

Para o desconto ser superior a 25%, precisamos de

$\dfrac{820}{1{,}0132^n}<0{,}75\cdot820$ .

Cancelando 820 e reorganizando:

$1{,}0132^n>\dfrac{4}{3}$ .

Aplique logaritmos naturais aos dois lados:

Usando os logaritmos naturais aproximados fornecidos, obtemos $n>\dfrac{0{,}2877}{0{,}0131}\approx21{,}96$ .

São necessários, portanto, pelo menos 22 meses de antecipação. Como o pagamento ocorrerá junto com a 30ª prestação, a primeira elegível é a 52ª.

Visualize:

Antecipação em relação à 30ª parcela. Parcela, Meses antes. Exigência: n > 21,96; a primeira é a 52ª

Onde a galera erra: marcar D, 51ª, que está apenas 21 meses à frente da 30ª. O desconto ainda não ultrapassa o limite exigido.

Leve para a prova: quando a condição é estritamente maior, obtenha o limite e escolha o primeiro número inteiro que realmente o supera.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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