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ENEM 2018 · Questão 138

Matemática e suas Tecnologias · Equação ou inequação no plano cartesiano: qual figura é essa?

Dificuldade TRI: b = 2,95 (difícil)

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), B(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0 ; 2).

Figura da questão

Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

  1. Ax=0x=0
  2. By=0y=0
  3. Cx2+y2=16x^2+y^2=16
  4. Dx2+(y−2)2=4x^2+(y-2)^2=4
  5. E(x−2)2+(y−2)2=8(x-2)^2+(y-2)^2=8
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) (x−2)2+(y−2)2=8(x-2)^2+(y-2)^2=8.

A ideia: para fazer a maior pontuação, não basta passar por A: a equação precisa passar também pela origem e atingir o maior número possível dos demais pontos.

Resolução. A figura mostra A=(0;4)A=(0;4), B=(4;4)B=(4;4), C=(4;0)C=(4;0), D=(2;2)D=(2;2) e E=(0;2)E=(0;2).

A alternativa E descreve uma circunferência de centro (2;2)(2;2) e raio ao quadrado igual a 8. Substituindo a origem, (0−2)2+(0−2)2=8(0-2)^2+(0-2)^2=8; ela pertence à curva.

Para A, (0−2)2+(4−2)2=8(0-2)^2+(4-2)^2=8; para B, (4−2)2+(4−2)2=8(4-2)^2+(4-2)^2=8; e para C, (4−2)2+(0−2)2=8(4-2)^2+(0-2)^2=8. Portanto, a circunferência acerta três pontos além da origem: A, B e C.

Cada um vale 2 pontos, totalizando 3⋅2=63\cdot2=6. O ponto D é o centro, não pertence à circunferência; E também não pertence.

Visualize: Circunferência em escala (x−2)²+(y−2)²=8, passando por O,A,B,C; D é seu centro e E fica fora da curva. Três alvos distintos da origem dão seis pontos.

Construção auxiliar de enem-2018-q138

Onde a galera erra: escolher D por ser uma circunferência que passa por A e pela origem, sem conferir os outros alvos. Ela acerta menos pontos.

Leve para a prova: em problemas com alternativas de equações, substitua diretamente as coordenadas; conte apenas os pontos que satisfazem cada equação.

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