ENEM 2018 · Questão 139

Matemática e suas Tecnologias · Caminhos

Dificuldade TRI: b = 3,31 (difícil)

Sobre um sistema cartesiano considera-se uma malha formada por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12 semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de $\frac{\pi}{6}$ rad, conforme a figura.

Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem $(0;0)$ .

Considere o valor de $\pi$ com aproximação de, pelo menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possível ao longo da malha, do ponto B até o ponto A, um objeto deve percorrer uma distância igual a

A $\frac{2\cdot\pi\cdot 1}{3}+8$
B $\frac{2\cdot\pi\cdot 2}{3}+6$
C $\frac{2\cdot\pi\cdot 3}{3}+4$
D $\frac{2\cdot\pi\cdot 4}{3}+2$
E $\frac{2\cdot\pi\cdot 5}{3}+2$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) $\frac{2\cdot\pi\cdot 1}{3}+8$ .

A ideia: O trajeto mais curto pela malha combina trechos radiais com um arco. Escolha o raio da circunferência em que será feita a mudança de direção.

Resolução. No desenho, $A$ está na circunferência de raio 6 e $B$ na de raio 4. A diferença angular entre as semirretas que passam por eles é de quatro setores de $\pi/6$ , ou seja, $2\pi/3$ . Se o arco for percorrido em uma circunferência de raio $r$ , seu comprimento será $r\cdot2\pi/3$ . Os segmentos radiais até ela somam $(6-r)+(4-r)$ , desde que $1\le r\le4$ . Para reduzir o arco, use o menor raio permitido, $r=1$ , pois não se pode passar pela origem: $6-1+4-1=8$ em trechos retos, mais $2\pi/3$ de arco. A opção A representa $8+2\pi/3$ .

Visualize: Malha polar em escala: A no raio 6 e ângulo 150 graus, B no raio 4 e ângulo 30 graus; trajeto mínimo pelo raio 1, sem passar pela origem, mede 8+2π/3.

Construção auxiliar de enem-2018-q139

Onde a galera erra: A opção B faz o desvio circular no raio 2. Isso reduz a soma radial, mas aumenta o arco; como $2\pi/3>2$ , compensa aproximar-se ainda mais do centro.

Leve para a prova: Em malhas polares, compare a economia nos trechos radiais com o custo do arco, lembrando que o comprimento do arco é proporcional ao raio.

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