ENEM 2018 · Questão 150

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Dificuldade TRI: b = 3,48 (difícil)

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna.

Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir:

• Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde;

• Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde;

• Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes;

• Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas.

A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas:

• Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;

• Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B;

• Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A;

• Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C;

• Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: Uma transferência aleatória cria dois cenários: pode sair bola preta ou de outra cor. Calcule a chance de vitória em cada cenário e faça a média ponderada.

Resolução. Nas opções 1 e 2, as probabilidades são $\dfrac26\cdot\dfrac15=\dfrac1{15}$ e $\dfrac3{10}\cdot\dfrac29=\dfrac1{15}$ .

Na opção 3, a urna C fornece preta ou verde com chance $1/2$ . A chance final é $\dfrac12\cdot\dfrac37\cdot\dfrac26+\dfrac12\cdot\dfrac27\cdot\dfrac16=\dfrac2{21}$ .

Na opção 4, transferindo da D para C, obtemos $\dfrac12\cdot\dfrac35\cdot\dfrac24+\dfrac12\cdot\dfrac25\cdot\dfrac14=\dfrac15$ .

Na opção 5, transferindo da C para D, temos $\dfrac12\cdot\dfrac47\cdot\dfrac36+\dfrac12\cdot\dfrac37\cdot\dfrac26=\dfrac3{14}$ .

Como $3/14$ é maior que $1/5$ , $2/21$ e $1/15$ , a melhor é a opção 5.

Visualize: Duas pretas sem reposição. Opção, Probabilidade. Maior chance: opção 5

Construção auxiliar de enem-2018-q150

Onde a galera erra: A alternativa D parece tentadora porque a opção 4 melhora bastante as chances, mas a opção 5 é ainda melhor: $3/14$ supera $1/5$ .

Leve para a prova: Em sorteios com uma transferência prévia, separe os casos da primeira etapa e some as probabilidades ponderadas.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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