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ENEM 2018 · Questão 151

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 3,32 (difícil)

A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: pequenos buraquinhos circulares congruentes, e em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.

Figura da questão

Disponível em: www.goo.gl. Acesso em: 2 dez. 2017 (adaptado).

Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta por letras formadas por quadrados de lados xx com furos circulares de raio r=x3r = \frac{x}{3}. Para que a área a ser pintada seja reduzida a 116\frac{1}{16} da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.

Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será

  1. A64.
  2. B48.
  3. C24.
  4. D21.
  5. E12.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: a fonte é redimensionada por semelhança. Como furos e quadrados mudam na mesma proporção, toda a área pintada varia com o quadrado do tamanho.

Resolução. Na figura, as letras são compostas por quadrados vazados por círculos. Para um quadrado de lado xx, com furo de raio x/3x/3, a área pintada é

x2−π(x3)2=x2(1−π9)x^2-\pi\left(\dfrac{x}{3}\right)^2=x^2\left(1-\dfrac{\pi}{9}\right).

O fator entre parênteses não muda quando reduzimos a fonte. Portanto, para reduzir a área pintada a 1/161/16 da original, o lado precisa cair a 1/41/4, já que (1/4)2=1/16(1/4)^2=1/16.

O novo tamanho é 192÷4=48192\div4=48.

Onde a galera erra: marcar E (12) ao dividir diretamente o tamanho linear por 16. Isso reduziria a área muito mais do que o solicitado.

Leve para a prova: quando uma figura muda de tamanho sem deformar, área acompanha o quadrado da escala linear.

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