ENEM 2018 · Questão 153

Matemática e suas Tecnologias · Use o Teorema de Pitágoras

Dificuldade TRI: b = 2,89 (difícil)

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos $A$ e $B$ , conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta $AB$ : 16 m.

Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

A $4\pi$
B $8\pi$
C $48\pi$
D $64\pi$
E $192\pi$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) $64\pi$ .

A ideia: a trena forma uma corda da circunferência externa e é tangente ao chafariz interno. Com isso, aparece um triângulo retângulo que entrega exatamente a diferença dos raios ao quadrado.

Resolução. Na figura, AB mede 16 m. A perpendicular do centro comum até a corda AB passa pelo ponto de tangência e corta a corda em duas metades de 8 m.

Chamando o raio da praça de $R$ e o raio do chafariz de $r$ , o triângulo retângulo tem hipotenusa $R$ e catetos $r$ e 8.

Logo, $R^2=r^2+8^2$ , então $R^2-r^2=64$ .

A área do passeio é a diferença das áreas dos círculos:

$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)=64\pi$ metros quadrados.

Visualize: Construção auxiliar proporcional, com raios ilustrativos sem atribuir valores ao enunciado: corda AB=16 m tangente ao círculo interno e meia-corda 8 m; R²−r²=64.

Construção auxiliar de enem-2018-q153

Onde a galera erra: marcar E (192π) por tentar estimar os raios no desenho. Eles nem precisam ser conhecidos separadamente.

Leve para a prova: em coroas circulares, procure maneiras de obter diretamente $R^2-r^2$ .

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