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ENEM 2018 · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Dificuldade TRI: b = 3,44 (difícil)

Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n×nn\times n, com n≥2n\ge2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8×88\times8.

Figura da questão

O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 15\frac{1}{5}.

A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

  1. A4×44\times4.
  2. B6×66\times6.
  3. C9×99\times9.
  4. D10×1010\times10.
  5. E11×1111\times11
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

Resposta: (D) 10×1010\times10.

A ideia: Contamos as casas atacadas pela primeira peça e dividimos pelo número de casas ainda livres. A primeira casa ocupada não entra nas possibilidades.

Resolução. No tabuleiro n×nn\times n, a linha da peça tem n−1n-1 outras casas, e sua coluna também tem n−1n-1. Portanto, a zona de combate contém 2(n−1)2(n-1) casas livres.

Depois de colocada a primeira peça, restam n2−1n^2-1 casas para a segunda. A probabilidade é

P=2(n−1)n2−1=2n+1P=\dfrac{2(n-1)}{n^2-1}=\dfrac2{n+1}.

O designer quer 2n+1<15\dfrac2{n+1}<\dfrac15. Multiplicando: 10<n+110<n+1, então n>9n>9.

A primeira dimensão inteira que serve é n=10n=10, isto é, um tabuleiro 10×1010\times10. Note que n=9n=9 produz exatamente 1/51/5, e o problema exige valor inferior.

Visualize: Tabuleiro mínimo 10×10, com peça em posição ilustrativa. Linha e coluna destacadas incluem 18 outras casas; excluindo a ocupada, há 99 casas disponíveis.

Construção auxiliar de enem-2018-q154

Onde a galera erra: A alternativa C, 9×99\times9, confunde “inferior” com “inferior ou igual”: para n=9n=9, a chance é exatamente 20%.

Leve para a prova: Em problemas de tabuleiro, retire a casa ocupada tanto da contagem dos espaços disponíveis quanto da linha e coluna atacadas.

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