ENEM 2018 · Questão 161

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 3,46 (difícil)

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30 m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

A30.
B40.
C45.
D60.
E68.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: os pontos que têm distância a A igual ao dobro da distância a B formam uma circunferência. A maior distância entre dois pontos dela é seu diâmetro.

Resolução. Coloque A em $x=0$ e B em $x=30$ . Para um bombeiro em $(x,y)$ , a condição é

$\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{(x-30)^2+y^2}$ .

Elevando ao quadrado e organizando:

$x^2+y^2=4(x^2-60x+900+y^2)$ .

$3x^2+3y^2-240x+3600=0$ .

Dividindo por 3 e completando quadrados:

$(x-40)^2+y^2=400$ .

Portanto, a circunferência tem centro em $(40,0)$ e raio $\sqrt{400}=20$ metros. A distância máxima entre dois bombeiros, posicionados em extremidades opostas, é $2\cdot20=40$ metros.

Visualize: Lugar geométrico de PA=2PB: circunferência de centro (40,0) e raio 20 m, com A=(0,0) e B=(30,0); diâmetro 40 m.

Construção auxiliar de enem-2018-q161

Onde a galera erra: marcar 30 (A), confundindo a distância fixa entre os focos com o diâmetro do lugar geométrico.

Leve para a prova: quando a razão entre distâncias a dois pontos fixos é constante e diferente de 1, o lugar geométrico é uma circunferência.

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