ENEM 2018 · Questão 173

Matemática e suas Tecnologias · Dado o comportamento, escolha um gráfico

Dificuldade TRI: b = 3,87 (difícil)

Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Na figura, o ponto O representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo $t = 0$ (estágio 1) e finaliza no tempo $t_f$ (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade desliza sobre o solo em direção ao ponto O. Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M representa o ponto médio do segmento que representa a viga.

O gráfico que descreve a distância do ponto M ao ponto O, em função do tempo, entre $t = 0$ e $t_f$ , é

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: A viga forma a hipotenusa de um triângulo retângulo, com catetos sobre o chão e a vertical do cabo. Seu ponto médio fica sempre à mesma distância do vértice reto O.

Resolução. Durante o içamento, uma extremidade sobe na vertical de O e a outra desliza pelo chão. Nenhuma delas permanece em O durante a etapa intermediária.

Chame de $x$ a distância horizontal da extremidade no chão a O e de $y$ a altura da extremidade suspensa. Como o comprimento da viga é $L$ , Pitágoras dá $x^2+y^2=L^2$ .

O ponto médio M tem afastamentos $x/2$ e $y/2$ em relação a O. Portanto, $OM^2=(x/2)^2+(y/2)^2=L^2/4$ , ou seja, $OM=L/2$ em todas as posições, inclusive nas extremas.

A distância é constante e positiva: gráfico A.

Visualize:

Esquema ilustrativo da viga como hipotenusa de um triângulo retângulo; M é seu ponto médio e OM mede metade do comprimento da viga.

Onde a galera erra: A extremidade que desliza se aproxima de O, mas a pergunta acompanha o ponto médio. O argumento correto usa o ponto médio da hipotenusa, sem supor uma extremidade fixa em O.

Leve para a prova: O ponto médio da hipotenusa está à mesma distância dos três vértices do triângulo retângulo.

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