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ENEM 2018 · Questão 174

Matemática e suas Tecnologias · Dada uma situação-problema, determine a função exponencial

Dificuldade TRI: b = 3,58 (difícil)

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm20,25\ \text{cm}^2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para log⁡102\log_{10} 2.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

  1. A1999
  2. B2002
  3. C2022
  4. D2026
  5. E2146
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: primeiro transforme a quantidade inicial em densidade. Depois descubra quantas duplicações são necessárias para chegar a 100 bilhões.

Resolução. Em 1986, havia 100 000 transistores em 0,250{,}25 cm². Como essa área é um quarto de centímetro quadrado, a densidade era

100 000÷0,25=400 000=4⋅105100\,000\div0{,}25=400\,000=4\cdot10^5.

A meta é 101110^{11} transistores por cm². Após nn duplicações:

4⋅105⋅2n=10114\cdot10^5\cdot2^n=10^{11}.

Então 2n=2,5⋅1052^n=2{,}5\cdot10^5. Aplicando logaritmos decimais, temos

nlog⁡(2)=log⁡(2,5)+5n\log(2)=\log(2{,}5)+5.

Como log⁡(2)≈0,30\log(2)\approx0{,}30 e log⁡(2,5)=1−2log⁡(2)≈0,40\log(2{,}5)=1-2\log(2)\approx0{,}40, chegamos a 0,30n≈5,400{,}30n\approx5{,}40.

Assim, n≈18n\approx18 duplicações. Cada uma leva dois anos: são 36 anos após 1986, chegando a 2022.

Onde a galera erra: marcar D, 2026, por confundir a densidade inicial com 100 000. O enunciado dá transistores distribuídos em apenas 0,25 cm².

Leve para a prova: confira a unidade da meta: para comparar densidades, transforme primeiro todos os dados em quantidade por unidade de área.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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