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ENEM 2018 · PPL · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 2,15 (média)

A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo de seu pHpH, dado pela expressão

pH=log⁡101HpH=\log_{10}\frac{1}{H},

em que HH é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pHpH é mostrada no quadro.

pHpHClassificação
pH≥9pH \ge 9Muito alcalina
7,5≤pH<97,5 \le pH < 9Alcalina
6≤pH<7,56 \le pH < 7,5Neutra
3,5≤pH<63,5 \le pH < 6Ácida
pH<3,5pH < 3,5Muito ácida

Para o cálculo da concentração HH, uma distribuidora mede dois parâmetros AA e BB, em cada fonte, e adota HH como sendo o quociente de AA por BB. Em análise realizada em uma fonte, obteve A=10−7A=10^{-7} e a água dessa fonte foi classificada como neutra.

O parâmetro BB, então, encontrava-se no intervalo

  1. A(−1014,5, −1013](-10^{14,5},\,-10^{13}]
  2. B[10−67, 10−1)[10^{-\frac{6}{7}},\,10^{-1})
  3. C[10−1, 1012)[10^{-1},\,10^{\frac{1}{2}})
  4. D[1013, 1014,5)[10^{13},\,10^{14,5})
  5. E[106×107, 107,5×107)[10^{6\times10^{7}},\,10^{7,5\times10^{7}})
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) [10−1, 1012)[10^{-1},\,10^{\frac12}).

A ideia: substitua a concentração na fórmula do pH e transforme a faixa de neutralidade em desigualdade para BB.

Resolução. Como H=A/B=10−7/BH=A/B=10^{-7}/B, então 1/H=B⋅1071/H=B\cdot10^7 e pH=log⁡10(B⋅107)=log⁡10B+7pH=\log_{10}(B\cdot10^7)=\log_{10}B+7, com B>0B>0. A água neutra satisfaz 6≤pH<7,56\le pH<7{,}5. Logo, 6≤log⁡10B+7<7,56\le\log_{10}B+7<7{,}5, isto é, −1≤log⁡10B<0,5-1\le\log_{10}B<0{,}5. Como a função 10x10^x é crescente, elevamos 10 aos três membros sem inverter os sinais: 10−1≤B<100,510^{-1}\le B<10^{0{,}5}. Portanto, B∈[10−1,101/2)B\in[10^{-1},10^{1/2}).

Onde a galera erra: a alternativa D resulta de inverter inadequadamente a fração A/BA/B ou perder o expoente negativo de AA.

Leve para a prova: transforme a classificação em desigualdade antes de isolar a variável e preserve os extremos abertos e fechados.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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