ENEM 2019 · Questão 163

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 1,96 (média)

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor $X$ , o segundo $\sqrt{X}$ , o terceiro $X^{\frac{1}{3}}$ , o quarto $X^2$ e o último $X^3$ . Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

AO primeiro.
BO segundo.
CO terceiro.
DO quarto.
EO quinto.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: O índice X está estritamente entre zero e um. Nesse intervalo, elevar a potências maiores diminui o número; extrair raízes aumenta.

Resolução. Compare os expoentes: os cinco índices são $X^1$ , $X^{1/2}$ , $X^{1/3}$ , $X^2$ e $X^3$ . Como $0<X<1$ , o menor expoente positivo gera o maior resultado. Entre $1$ , $1/2$ , $1/3$ , $2$ e $3$ , o menor é $1/3$ . Portanto, o maior IDH é o do terceiro país. Você pode testar com $X=1/8$ : a raiz cúbica é 1/2, maior que a raiz quadrada e que as potências inteiras.

Onde a galera erra: A alternativa E confunde o comportamento das potências de números maiores que 1 com o de números entre 0 e 1.

Leve para a prova: Para base entre zero e um, a ordem das potências se inverte: expoente menor, valor maior.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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