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ENEM 2019 · Questão 169

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 1,98 (média)

Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir da sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

O usuário P define um raio de abrangência com medida de 3 km e busca ampliar a possibilidade de obter um match se deslocando para a região central da cidade, que concentra um maior número de usuários. O gráfico ilustra alguns bares que o usuário P costuma frequentar para ativar o aplicativo, indicados por I, II, III, IV e V. Sabe-se que os usuários Q, R e S, cujas posições estão descritas pelo gráfico, são compatíveis com o usuário P, e que estes definiram raios de abrangência respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

Figura da questão

Com base no gráfico e nas afirmações anteriores, em qual bar o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente?

  1. AI
  2. BII
  3. CIII
  4. DIV
  5. EV
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: o contato exige alcance mútuo. Como P usa raio de 3 km, os limites com Q, R e S são 3 km, 2 km e 3 km, respectivamente. Compare distâncias ao quadrado.

Resolução. Pelo plano, Q está em (3,7)(3,7), R em (6,7)(6,7) e S em (5,3)(5,3). Os raios são, respectivamente, 3 km, 2 km e 5 km. O bar I fica em (5,6)(5,6).

Até Q: 22+(−1)2=5≤322^2+(-1)^2=5\le 3^2.

Até R: (−1)2+(−1)2=2≤22(-1)^2+(-1)^2=2\le 2^2.

Até S: 02+32=9≤320^2+3^2=9\le 3^2, respeitando tanto o raio de 5 km de S quanto o de 3 km de P.

Logo, I atende aos três limites ao mesmo tempo. O raio de 3 km de P é ativado a partir da localização escolhida no bar; não precisamos medir a distância do bar à antiga posição de P.

Visualize: Bares nas coordenadas do recorte original; discos de contato mútuo de raios 3, 2 e 3 km, incluindo o limite de 3 km de P. O bar I=(5,6) pertence aos três.

Construção auxiliar de enem-2019-q169

Onde a galera erra: marcar II (B) por parecer mais central, sem verificar que ele está a 8\sqrt{8} km de R, além dos 2 km permitidos.

Leve para a prova: para testar se um ponto pertence a um círculo, compare (x−a)2+(y−b)2(x-a)^2+(y-b)^2 com o raio ao quadrado.

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