ENEM 2019 · Questão 171

Matemática e suas Tecnologias · Colorir regiões sem repetir cores vizinhas: quantas maneiras?

Dificuldade TRI: b = 1,93 (média)

Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A $C_{12}^{4} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{3} \times C_{12}^{2}$
B $C_{12}^{4} + C_{8}^{3} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}$
C $C_{12}^{4} \times 2 \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{2}$
D $C_{12}^{4} + 2 \times C_{12}^{3} + C_{12}^{2}$
E $C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $C_{12}^{4} \times C_{8}^{3} \times C_{5}^{3} \times C_{2}^{2}$ .

A ideia: os 12 vagões já estão numerados e em posição fixa. A pergunta é quais posições receberão cada cor, respeitando as quantidades exigidas.

Resolução. Na figura, a locomotiva é preta e não participa da escolha. Entre os 12 vagões numerados, escolhemos primeiro 4 para pintar de vermelho: $\binom{12}{4}$ maneiras.

Sobram 8 vagões. Escolhemos 3 para o azul: $\binom{8}{3}$ . Dos 5 restantes, escolhemos 3 para o verde: $\binom{5}{3}$ . Restam exatamente 2 para o amarelo: $\binom{2}{2}=1$ .

As etapas ocorrem sucessivamente, portanto multiplicamos:

$\binom{12}{4}\cdot\binom{8}{3}\cdot\binom{5}{3}\cdot\binom{2}{2}$ .

Onde a galera erra: marcar (A), escolhendo cada cor entre os 12 vagões originais; isso permitiria atribuir duas cores ao mesmo vagão.

Leve para a prova: ao distribuir quantidades fixas de cores em posições diferentes, escolha uma cor por vez e diminua o total disponível após cada etapa.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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