ENEM 2019 · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Relacionando volumes de diferentes sólidos

Dificuldade TRI: b = 2,3 (média)

Uma construtora pretende conectar um reservatório central ( $R_C$ ) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares ( $R_1$ , $R_2$ , $R_3$ e $R_4$ ), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

A1,44.
B1,16.
C1,10.
D1,00.
E0,95.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: A água se redistribui até alcançar a mesma altura em todos os reservatórios. Como os tubos também armazenam água, é preciso descontar esse volume antes de dividir pelas áreas das bases.

Resolução. A figura mostra quatro canos partindo do tanque central. O tanque central começa com $\pi\cdot2^2\cdot3{,}30=13{,}2\pi$ metros cúbicos. Cada cano tem raio interno de 0,05 m e comprimento de 20 m. Os quatro juntos retêm $4\cdot\pi\cdot(0{,}05)^2\cdot20=0{,}2\pi$ metros cúbicos. Restam $13\pi$ nos cinco reservatórios. A área da base do central é $4\pi$ ; a de cada auxiliar é $2{,}25\pi$ . A soma é $4\pi+4\cdot2{,}25\pi=13\pi$ . A altura comum será $13\pi\div13\pi=1$ metro.

Visualize: Conservação da água: volumes em π m³. Parcela, Volume / π. Área total: 13π m² → altura 1 m

Construção auxiliar de enem-2019-q175

Onde a galera erra: A alternativa C, 1,10, não respeita a conservação de volume: somente os cinco tanques com essa altura guardariam $13\pi\cdot1{,}10=14{,}3\pi$ metros cúbicos, mais que os $13{,}2\pi$ disponíveis no início.

Leve para a prova: Em vasos comunicantes, use uma altura comum e conserve o volume total, incluindo os tubos que ficam preenchidos.

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