ENEM 2019 · Questão 177

Matemática e suas Tecnologias · Dado o gráfico, determine a função

Dificuldade TRI: b = 1,63 (média)

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

A função $h(t)=4+4\operatorname{sen}\left(\frac{\beta t}{2}-\frac{\pi}{2}\right)$ definida para $t\ge 0$ descreve como varia a altura $h$ , medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo $t$ , medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro $\beta$ , que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante $t=0$ ), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para $\pi$ .

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro $\beta$ , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: não é preciso desenhar toda a onda. Basta descobrir quando a altura chega a 6 cm pela terceira vez e exigir que isso ocorra antes de 4 segundos.

Resolução. A figura confirma que o pistão começa na altura zero. Chame de $b$ o parâmetro beta do enunciado. Pela função, a altura 6 exige

$4+4\sin(\dfrac{b t}{2}-\dfrac{\pi}{2})=6$ .

Isso equivale a $4-4\cos(\dfrac{b t}{2})=6$ , ou seja, $\cos(\dfrac{b t}{2})=-\dfrac{1}{2}$ .

Partindo de $t=0$ , as três primeiras ocorrências têm ângulos $\dfrac{2\pi}{3}$ , $\dfrac{4\pi}{3}$ e $\dfrac{8\pi}{3}$ . Na terceira, $\dfrac{b t}{2}=\dfrac{8\pi}{3}$ , então $t=\dfrac{16\pi}{3b}$ .

Usando $\pi\approx3$ , fica $t\approx\dfrac{16}{b}$ . Para acontecer antes de 4 segundos, $\dfrac{16}{b}<4$ , portanto $b>4$ . O menor inteiro é 5.

Visualize:

As três primeiras vezes em que h = 6. Ocorrência, Ângulo βt/2, t, com π ≈ 3. 16/β < 4 exige β > 4; menor inteiro: 5

Onde a galera erra: marcar C (4), que faria a terceira ocorrência acontecer exatamente em 4 segundos. O enunciado exige menos de 4.

Leve para a prova: em fenômenos periódicos, conte as ocorrências na ordem; não confunda o terceiro encontro com três períodos completos.

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