ENEM 2019 · PPL · Questão 168

Matemática e suas Tecnologias · Dado um poliedro, analise o nº de faces, arestas e/ou vértices

Dificuldade TRI: b = 2,2 (média)

No ano de 1751, o matemático Euler conseguiu demonstrar a famosa relação para poliedros convexos que relaciona o número de suas faces ( $F$ ), arestas ( $A$ ) e vértices ( $V$ ): $V + F = A + 2$ . No entanto, na busca dessa demonstração, essa relação foi sendo testada em poliedros convexos e não convexos. Observou-se que alguns poliedros não convexos satisfaziam a relação e outros não. Um exemplo de poliedro não convexo é dado na figura. Todas as faces que não podem ser vistas diretamente são retangulares.

Qual a relação entre os vértices, as faces e as arestas do poliedro apresentado na figura?

A $V+F=A$
B $V+F=A-1$
C $V+F=A+1$
D $V+F=A+2$
E $V+F=A+3$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $V+F=A+3$ .

A ideia: Conte vértices, arestas e faces considerando também a cavidade do bloco.

Resolução. A figura mostra um bloco com rebaixo retangular, e não um simples paralelepípedo. Contando os cantos externos e internos, as arestas de contorno e as faces do rebaixo, a relação obtida é $V+F=A+3$ . Essa é a expressão da alternativa E.

Onde a galera erra: A alternativa D aplica automaticamente a relação de Euler para convexos, embora a figura tenha reentrância.

Leve para a prova: Em sólidos não convexos, confira a contagem antes de aplicar Euler.

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