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ENEM 2019 · PPL · Questão 174

Matemática e suas Tecnologias · Ponto equidistante no plano: é a mediatriz (ou o circuncentro)

Dificuldade TRI: b = 1,57 (média)

Uma empresa, investindo na segurança, contrata uma firma para instalar mais uma câmera de segurança no teto de uma sala. Para iniciar o serviço, o representante da empresa informa ao instalador que nessa sala já estão instaladas duas câmeras e, a terceira, deverá ser colocada de maneira a ficar equidistante destas. Além disso, ele apresenta outras duas informações:

(i) um esboço em um sistema de coordenadas cartesianas, do teto da sala, onde estão inseridas as posições das câmeras 1 e 2, conforme a figura.

Figura da questão

(ii) cinco relações entre as coordenadas (x ; y)(x\ ;\ y) da posição onde a câmera 3 deverá ser instalada.

R1: y=xy=x

R2: y=−3x+5y=-3x+5

R3: y=−3x+10y=-3x+10

R4: y=13x+53y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}

R5: y=13x+110y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{10}

O instalador, após analisar as informações e as cinco relações, faz a opção correta dentre as relações apresentadas para instalar a terceira câmera.

A relação escolhida pelo instalador foi a

  1. AR1.
  2. BR2.
  3. CR3.
  4. DR4.
  5. ER5.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: O lugar geométrico equidistante de dois pontos é sua mediatriz.

Resolução. As câmeras estão em (3,1)(3,1) e (2,4)(2,4). O ponto médio é (5/2,5/2)(5/2,5/2). A inclinação do segmento entre elas é (4−1)/(2−3)=−3(4-1)/(2-3)=-3; a mediatriz tem inclinação 1/31/3. Sua equação é y−5/2=(x−5/2)/3y-5/2=(x-5/2)/3, isto é, y=x/3+5/3y=x/3+5/3, a relação R4.

Visualize: Una as duas câmeras e marque o ponto médio do segmento. A reta R4 passa por esse ponto e é perpendicular à ligação entre as câmeras; por isso seus pontos são equidistantes delas.

Construção auxiliar de enem-2019ppl-q174

Onde a galera erra: Escolher uma reta paralela ao segmento das câmeras, de inclinação −3-3, não garante equidistância.

Leve para a prova: Mediatriz passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento original.

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