ENEM 2019 · PPL · Questão 175

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 1,17 (fácil)

No trapézio isósceles mostrado na figura a seguir, $M$ é o ponto médio do segmento $BC$ , e os pontos $P$ e $Q$ são obtidos dividindo o segmento $AD$ em três partes iguais.

Pelos pontos $B$ , $M$ , $C$ , $P$ e $Q$ são traçados segmentos de reta, determinando cinco triângulos internos ao trapézio, conforme a figura.

A razão entre $BC$ e $AD$ que determina áreas iguais para os cinco triângulos mostrados na figura é

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{2}{3}$
C $\frac{2}{5}$
D $\frac{3}{5}$
E $\frac{5}{6}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $\dfrac{2}{3}$ .

A ideia: compare triângulos que têm a mesma altura: suas áreas ficam proporcionais às bases.

Resolução. Chame a altura do trapézio de $h$ e a base maior $AD$ de $3x$ . Como $P$ e $Q$ dividem $AD$ em três partes iguais, $AP=PQ=QD=x$ . Na figura, os três triângulos inferiores têm bases $AP$ , $PQ$ e $QD$ e altura $h$ ; cada um tem área $xh/2$ .

Os dois triângulos superiores têm bases $BM$ e $MC$ , iguais porque $M$ é ponto médio de $BC$ , e também altura $h$ . Para suas áreas serem iguais às dos demais, cada uma dessas bases deve medir $x$ . Logo, $BC=2x$ e $AD=3x$ .

Assim, $\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2x}{3x}=\dfrac{2}{3}$ .

Visualize: Trapézio isósceles com AD3x, BC2x e altura comum aos cinco triângulos, de mesma área. P e Q trissectam AD; M divide BC ao meio.

Construção auxiliar de enem-2019ppl-q175

Onde a galera erra: marcar A ( $1/3$ ), comparando apenas uma das duas metades de $BC$ com a base inteira $AD$ .

Leve para a prova: triângulos com a mesma altura têm áreas na mesma razão que suas bases.

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