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ENEM 2020 · Questão 149

Matemática e suas Tecnologias · Faça manipulações algébricas envolvendo logaritmo e aplique CP2L

Dificuldade TRI: b = 2,82 (difícil)

A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (ff) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (rr). Ela é dada por f=ArBf = \frac{A}{r^B}.

O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r=1r = 1 para a palavra mais frequente, r=2r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. AA e BB são constantes positivas.

Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).

Com base nos valores de X=log⁡(r)X = \log(r) e Y=log⁡(f)Y = \log(f), é possível estimar valores para AA e BB.

No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre YY e XX é

  1. AY=log⁡(A)−B⋅XY = \log(A) - B \cdot X
  2. BY=log⁡(A)X+log⁡(B)Y = \frac{\log(A)}{X + \log(B)}
  3. CY=log⁡(A)B−XY = \frac{\log(A)}{B} - X
  4. DY=log⁡(A)B⋅XY = \frac{\log(A)}{B \cdot X}
  5. EY=log⁡(A)XBY = \frac{\log(A)}{X^B}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) Y=log⁡(A)−B⋅XY=\log(A)-B\cdot X.

A ideia: a função original usa uma potência no denominador. O logaritmo transforma a potência em um produto, o que deixa a relação entre XX e YY linear.

Resolução. A Lei de Zipf é f=ArBf=\dfrac{A}{r^B}.

Aplicando logaritmo dos dois lados, temos

log⁡(f)=log⁡(A)−log⁡(rB)\log(f)=\log(A)-\log(r^B).

Na propriedade da potência, o expoente passa a multiplicar o logaritmo:

log⁡(f)=log⁡(A)−B⋅log⁡(r)\log(f)=\log(A)-B\cdot\log(r).

O enunciado já definiu Y=log⁡(f)Y=\log(f) e X=log⁡(r)X=\log(r). Basta fazer essas substituições:

Y=log⁡(A)−B⋅XY=\log(A)-B\cdot X.

Observe que AA e BB são constantes. Portanto, no gráfico de YY contra XX, a inclinação é negativa, igual a −B-B.

Onde a galera erra: marcar C, dividindo log⁡(A)\log(A) por BB. O expoente BB pertence apenas a rr, então ele multiplica log⁡(r)\log(r) depois da propriedade.

Leve para a prova: o logaritmo de uma divisão vira diferença, e o expoente de uma potência vira fator multiplicativo.

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