ENEM 2020 · Questão 155

Matemática e suas Tecnologias · Dada uma situação-problema, determine a função exponencial

Dificuldade TRI: b = 1,34 (fácil)

O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado $PRST$ , com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente. Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

A $\left(\frac{1}{2}\right)^{100}$
B $\left(\frac{1}{2}\right)^{99}$
C $\left(\frac{1}{2}\right)^{97}$
D $\left(\frac{1}{2}\right)^{-98}$
E $\left(\frac{1}{2}\right)^{-99}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

Resposta: (B) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{99}$ .

A ideia: cada novo quadrado tem metade do lado anterior. O cuidado é descobrir em qual quadrado começa a contagem.

Resolução. Na figura, o primeiro quadrado tem lado 1, o segundo tem lado $\dfrac{1}{2}$ e o terceiro tem lado $\dfrac{1}{4}$ .

Escrevendo esses lados como potências, aparece o padrão:

$1=\left(\dfrac{1}{2}\right)^0$ ;

$\dfrac{1}{2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^1$ ;

$\dfrac{1}{4}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ .

O número do quadrado é sempre uma unidade maior que o expoente. Assim, o quadrado de ordem $n$ tem lado $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$ .

Para o centésimo, o expoente é 99. Não precisa tentar calcular uma fração tão pequena.

Onde a galera erra: marcar A, que usa expoente 100. Isso aplicaria a redução também ao primeiro quadrado, embora ele ainda tenha lado 1.

Leve para a prova: em uma sequência que começa no termo inicial, o número de multiplicações até o termo $n$ é $n-1$ .

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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