ENEM 2020 · Questão 158

Matemática e suas Tecnologias · Caminhos

Dificuldade TRI: b = 3,3 (difícil)

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos $A$ , $B$ e $C$ estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ( $\rightarrow$ ) ou para cima ( $\uparrow$ ), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

A4.
B14.
C17.
D35.
E48.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: É uma contagem de caminhos em malha: cada rota usa só movimentos para cima ou para a direita. Conte todos os caminhos de $A$ a $B$ e retire os que passam por $C$ .

Resolução. Na figura, de $A$ até $B$ são necessários quatro passos para a direita e três para cima, em qualquer ordem. Portanto, o total sem proibições é $\binom{7}{3}=35$ . Para passar pela casa $C$ , primeiro é preciso ir de $A$ a $C$ : são dois passos para a direita e dois para cima, resultando em $\binom{4}{2}=6$ caminhos. Depois, de $C$ a $B$ , são dois passos para a direita e um para cima: $\binom{3}{1}=3$ caminhos. Cada chegada a $C$ pode ser combinada com cada saída, então $6\cdot3=18$ caminhos passam pela casa proibida. Sobram $35-18=17$ , alternativa C.

Visualize: Submalha entre A=(0,0), B=(4,3) e ponto proibido C=(2,2), transladada do original; contagem dinâmica independente confirma 17 caminhos.

Construção auxiliar de enem-2020-q158

Onde a galera erra: A alternativa D, 35, conta inclusive caminhos que passam pela casa de Carlos. Não basta encontrar a quantidade de movimentos: é preciso aplicar a restrição.

Leve para a prova: Em trajetos que não podem passar por um ponto, faça: total menos (caminhos até o ponto proibido vezes caminhos a partir dele).

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