A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso ENEM

Provas resolvidas › ENEM 2020

ENEM 2020 · Questão 163

Matemática e suas Tecnologias · Aplicando PFC em senhas, placas e CEP

Dificuldade TRI: b = 2,18 (média)

Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.

Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

  1. A9!9!
  2. B4! 5!4!\,5!
  3. C2×4! 5!2\times4!\,5!
  4. D9!2\frac{9!}{2}
  5. E4! 5!2\frac{4!\,5!}{2}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 4! 5!2\frac{4!\,5!}{2}.

A ideia: como há cinco consoantes e quatro vogais, a alternância só pode começar e terminar com consoante. Conte as permutações dentro das vagas de cada tipo e corrija a repetição da letra T.

Resolução. Ignorando os espaços, a frase I AM POTTER tem nove letras. As vogais são I, A, O, E, todas distintas: quatro letras. As consoantes são M, P, T, T, R: cinco, sendo dois T iguais.

O único padrão possível de alternância é consoante–vogal–consoante–vogal–consoante–vogal–consoante–vogal–consoante.

As vogais podem ocupar suas quatro posições de 4!4! maneiras. As consoantes ocupariam cinco posições de 5!5! maneiras se fossem todas diferentes; como os dois T são idênticos, dividimos por 2!2!.

A quantidade total é 5!2⋅4!=4!5!2\dfrac{5!}{2}\cdot4!=\dfrac{4!5!}{2}.

Visualize: Único padrão alternado para I AM POTTER: CVCVCVCVC. As vogais são distintas; entre as consoantes, o T se repete duas vezes.

Construção auxiliar de enem-2020-q163

Onde a galera erra: escolher (B), esquecendo que permutar os dois T não produz um anagrama novo.

Leve para a prova: antes de permutar letras com restrições, fixe o padrão de posições e divida pelas permutações de letras repetidas.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago