ENEM 2020 · Questão 172

Matemática e suas Tecnologias · Use o Teorema de Pitágoras

Dificuldade TRI: b = 1,77 (média)

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão.

Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

A4,00.
B4,87.
C5,00.
D5,83.
E6,26.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

A ideia: as 20 mangueiras formam as geratrizes de um cone. Cada uma é a hipotenusa de um triângulo retângulo com altura de 3 m e raio desconhecido.

Resolução. A circunferência da figura foi dividida em 20 arcos iguais. Há uma mangueira do alto do poste até cada ponto de divisão, totalizando 20 segmentos de mesmo comprimento.

Dos 100 m disponíveis, cada um recebe $100\div20=5$ m de mangueira.

No corte vertical do cone, a altura mede 3 m, o raio é $r$ e a geratriz mede 5 m. Aplicando Pitágoras:

$r^2+3^2=5^2$ .

Logo, $r^2=25-9=16$ e $r=4$ m.

Visualize: Corte auxiliar em escala: altura 3 m, geratriz 5 m e raio 4 m; triângulo retângulo 3-4-5.

Construção auxiliar de enem-2020-q172

Onde a galera erra: escolher C (5,00) por confundir o comprimento inclinado da mangueira com o raio horizontal da base.

Leve para a prova: num cone reto, altura, raio da base e geratriz formam um triângulo retângulo.

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