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ENEM 2020 · Questão 173

Matemática e suas Tecnologias · Ângulo e distância: trigonometria no triângulo retângulo

Dificuldade TRI: b = 3,02 (difícil)

Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.

Figura da questão

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.

Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de

  1. A9.
  2. B15.
  3. C26.
  4. D52.
  5. E60.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

A ideia: a viga projeta uma sombra horizontal dentro do vão quando a luz inclina. Essa sombra deve ocupar metade da abertura de 30 cm.

Resolução. Na ilustração, ao meio-dia os raios chegam perpendicularmente ao plano do pergolado, deixando passar toda a luz correspondente aos vãos de 30 cm.

À tarde, os raios fazem 30°30° com a vertical. Para que passe apenas metade da luz, a sombra lateral projetada pela altura hh da viga deve cobrir 15 cm dos 30 cm disponíveis.

No triângulo retângulo formado por altura e sombra,

tan⁡30°=15h=33\tan30°=\dfrac{15}{h}=\dfrac{\sqrt3}{3}.

Portanto, h=153≈25,98h=15\sqrt3\approx25{,}98 cm. A opção mais próxima é 26 cm.

Visualize: Triângulo auxiliar em escala: altura da viga h=15√3 cm, sombra de 15 cm e raio de sol formando 30 graus com a vertical.

Construção auxiliar de enem-2020-q173

Onde a galera erra: escolher B (15 cm) por usar a largura da sombra como se fosse a altura vertical da viga.

Leve para a prova: quando se conhece o ângulo do raio com a vertical, use a tangente para relacionar deslocamento horizontal e altura.

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