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ENEM 2020 · digital · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Dado o Gráfico, determine a Função

Dificuldade TRI: b = 2,81 (difícil)

Em um ano, uma prefeitura apresentou o relatório de gastos públicos realizados pelo município. O documento mostra que foram gastos 72 mil reais no mês de janeiro (mês 1), que o maior gasto mensal ocorreu no mês de agosto (mês 8) e que a prefeitura gastou 105 mil reais no mês de dezembro (mês 12). A curva que modela esses gastos é a parábola y=T(x)y=T(x), com xx sendo o número correspondente ao mês e T(x)T(x), em milhar de real.

A expressão da função cujo gráfico é o da parábola descrita é

  1. AT(x)=−x2+16x+57T(x)=-x^2+16x+57
  2. BT(x)=−1116x2+11x+72T(x)=-\frac{11}{16}x^2+11x+72
  3. CT(x)=35x2−245x+3815T(x)=\frac{3}{5}x^2-\frac{24}{5}x+\frac{381}{5}
  4. DT(x)=−x2−16x+87T(x)=-x^2-16x+87
  5. ET(x)=1116x2−112x+72T(x)=\frac{11}{16}x^2-\frac{11}{2}x+72
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) T(x)=−x2+16x+57T(x)=-x^2+16x+57.

A ideia: o mês de maior gasto fornece o eixo de simetria da parábola, e os outros dois valores fecham os coeficientes.

Resolução. Na forma T(x)=ax2+bx+cT(x)=ax^2+bx+c, o vértice tem abscissa −b2a=8-\dfrac{b}{2a}=8, portanto b=−16ab=-16a.

Os dados de janeiro e dezembro dão a+b+c=72a+b+c=72 e 144a+12b+c=105144a+12b+c=105. Substituindo b=−16ab=-16a, temos c−15a=72c-15a=72 e c−48a=105c-48a=105. Subtraindo, −33a=33-33a=33, logo a=−1a=-1, b=16b=16 e c=57c=57.

A função encontrada tem concavidade para baixo e máximo no mês 8, como exigido.

Onde a galera erra: janeiro é x=1x=1, não x=0x=0; por isso, o termo independente não precisa ser 72. C e E têm concavidade para cima, produzindo mínimo.

Leve para a prova: em uma parábola, máximo ou mínimo fornece o vértice; use-o junto dos pontos conhecidos.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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