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ENEM 2020 · digital · Questão 167

Matemática e suas Tecnologias · Média ponderada com tabela

Dificuldade TRI: b = 2,62 (difícil)

Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes. Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II.

A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é

  1. A449.
  2. B753.
  3. C866.
  4. D941.
  5. E1 091.
Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: cada voto que muda da chapa I para a II altera a diferença ponderada em duas direções: tira 0,4 de uma e acrescenta 0,4 à outra.

Resolução. Na primeira eleição, a chapa I obteve 850⋅0,6+4 300⋅0,4=510+1 720=2 230850\cdot0{,}6+4\,300\cdot0{,}4=510+1\,720=2\,230 pontos.

A chapa II obteve 1 300⋅0,6+2 120⋅0,4=780+848=1 6281\,300\cdot0{,}6+2\,120\cdot0{,}4=780+848=1\,628 pontos.

A vantagem da chapa I era 2 230−1 628=6022\,230-1\,628=602 pontos. Se xx contribuintes mudarem de I para II, a diferença diminui 0,8x0{,}8x.

Para a chapa II vencer, precisamos de 0,8x>6020{,}8x>602, ou x>752,5x>752{,}5. O menor número inteiro é 753.

Onde a galera erra: escolher 1 091 (E) por contar somente o ganho da chapa II e esquecer que a chapa I perde os mesmos votos.

Leve para a prova: em transferências diretas entre dois concorrentes, cada voto altera a diferença pelo dobro do seu peso.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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