ENEM 2020 · PPL · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 2,6 (difícil)

Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o Museu de Arte Contemporânea (MAC) tornou-se um dos cartões-postais da cidade de Niterói (Figura 1).

Considere que a forma da cúpula do MAC seja a de um tronco de cone circular reto (Figura 2), cujo diâmetro da base maior mede 50 m e 12 m é a distância entre as duas bases. A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área. (Utilize 1,7 como valor aproximado para $\sqrt{3}$ e 3 para $\pi$ ).

A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro quadrado, está no intervalo

A[100, 200]
B[300, 400]
C[600, 700]
D[900, 1 000]
E[1 000, 1 100]

Ver a resposta e a resolução

Resposta: D

A ideia: a área do pátio é a do círculo menor do tronco de cone. Use a altura e os 60° do desenho para descobrir quanto o raio diminuiu.

Resolução. O diâmetro da base maior é 50 m; portanto, seu raio é 25 m. A figura mostra 12 m de distância vertical entre as bases e uma geratriz inclinada 60° em relação à horizontal.

No triângulo retângulo formado pelo corte lateral, se $d$ é a diferença entre os raios, então

$\dfrac{12}{d}=\sqrt{3}$ , ou seja, $d=\dfrac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$ .

Usando $\sqrt{3}\approx1{,}7$ , temos $d\approx6{,}8$ m. O raio do pátio fica aproximadamente $25-6{,}8=18{,}2$ m.

A área é $A\approx3\cdot(18{,}2)^2=993{,}72$ metros quadrados, dentro do intervalo indicado em D.

Visualize: Triângulo retângulo do corte lateral: altura 12 m, ângulo de 60 graus e diferença de raios 4√3; aproximação √3=1,7 aplicada após racionalizar.

Construção auxiliar de enem-2020ppl-q154

Onde a galera erra: calcular a área da base maior, com raio de 25 m, ignorando a redução do tronco de cone.

Leve para a prova: em sólidos com cortes inclinados, encontre primeiro a medida linear desejada; só depois calcule a área.

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