A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso ENEM

Provas resolvidas › ENEM 2020 · PPL

ENEM 2020 · PPL · Questão 164

Matemática e suas Tecnologias · Voltas, arcos e pistas: some os comprimentos

Dificuldade TRI: b = 3,1 (difícil)

Dois atletas partem de pontos, respectivamente, P1P_1 e P2P_2, em duas pistas planas distintas, conforme a figura, deslocando-se no sentido anti-horário até a linha de chegada, percorrendo, desta forma, a mesma distância (LL). Os trechos retos dos finais das curvas até a linha de chegada desse percurso têm o mesmo comprimento (ll) nas duas pistas e são tangentes aos trechos curvos, que são semicírculos de centro CC. O raio do semicírculo maior é R1R_1 e o raio do semicírculo menor é R2R_2.

Figura da questão

Sabe-se que o comprimento de um arco circular é dado pelo produto do seu raio pelo ângulo, medido em radiano, subtendido pelo arco.

Nas condições apresentadas, a razão da medida do ângulo P2C^P1P_2\widehat{C}P_1 pela diferença L−lL - l é dada por

  1. AR2−R1R_2 - R_1
  2. B1R1−1R2\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}
  3. C1R2−1R1\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}
  4. D1R2−R1\frac{1}{R_2 - R_1}
  5. E1R1+1R2\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: C

Resposta: (C) 1R2−1R1\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}

A ideia: Separe o arco da reta comum aos percursos.

Resolução. Como o trecho retilíneo mede ll, cada atleta percorre arco de comprimento L−lL-l. Assim, os ângulos centrais correspondentes são θ1=(L−l)/R1\theta_1=(L-l)/R_1 e θ2=(L−l)/R2\theta_2=(L-l)/R_2. O ângulo entre as posições iniciais é θ2−θ1\theta_2-\theta_1, portanto θ2−θ1L−l=1R2−1R1\frac{\theta_2-\theta_1}{L-l}=\frac1{R_2}-\frac1{R_1}.

Visualize: Compare dois arcos de mesmo comprimento s=L−ls=L-l e raios distintos. O ângulo central é s/Rs/R em cada pista: o raio menor corresponde ao ângulo maior.

Construção auxiliar de enem-2020ppl-q164

Onde a galera erra: Subtrair os raios em vez de subtrair os ângulos.

Leve para a prova: Para arcos de mesmo comprimento, o ângulo é inversamente proporcional ao raio.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago