ENEM 2020 · PPL · Questão 167

Matemática e suas Tecnologias · Relacionar/Igualar áreas

Dificuldade TRI: b = 2,56 (difícil)

Pretende-se comprar uma mesa capaz de acomodar 6 pessoas, de modo que, assentadas em torno da mesa, cada pessoa disponha de, pelo menos, 60 cm de espaço livre na borda do tampo da mesa, que deverá ter a menor área possível. Na loja visitada há mesas com tampos nas formas e dimensões especificadas:

• Mesa I: hexágono regular, com lados medindo 60 cm;

• Mesa II: retângulo, com lados medindo 130 cm e 60 cm;

• Mesa III: retângulo, com lados medindo 120 cm e 60 cm;

• Mesa IV: quadrado, com lados medindo 60 cm;

• Mesa V: triângulo equilátero, com lados medindo 120 cm.

A mesa que atende aos critérios especificados é a

AI.
BII.
CIII.
DIV.
EV.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

A ideia: A mesa deve oferecer ao menos $6\cdot60=360$ cm de borda útil e, entre as opções, ter a menor área.

Resolução. Mesa I: hexágono regular de lado 60 cm, perímetro 360 cm e área $6\cdot\dfrac{60^2\sqrt3}{4}=5\,400\sqrt3$ , aproximadamente 9 353 cm². Mesa II: retângulo de 130 por 60 cm, perímetro 380 cm e área 7 800 cm². Mesa III: retângulo de 120 por 60 cm, perímetro 360 cm e área 7 200 cm². Mesa IV: quadrado de lado 60 cm, perímetro 240 cm, insuficiente. Mesa V: triângulo equilátero de lado 120 cm, perímetro 360 cm e área $\dfrac{120^2\sqrt3}{4}=3\,600\sqrt3$ , aproximadamente 6 235 cm². Entre as mesas com borda suficiente, V tem a menor área.

Visualize: Mesa triangular equilátera V de lado 120 centímetros comparada à retangular III 120 por 60. Ambas têm perímetro 360, mas a triangular tem área menor; seis posições na borda marcam divisões de 60 centímetros de perímetro.

Construção auxiliar de enem-2020ppl-q167

Onde a galera erra: A alternativa C satisfaz o perímetro exigido, mas a área de 7 200 cm² é maior que a da mesa triangular.

Leve para a prova: Quando há duas condições, filtre primeiro as opções viáveis e só depois minimize a grandeza pedida.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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