ENEM 2021 · Questão 136

Matemática e suas Tecnologias · Tabela com P.A.

Dificuldade TRI: b = 1,74 (média)

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega $\varphi$ , e seu valor é dado pela solução positiva da equação $\varphi^2 = \varphi + 1$ .

Assim como a potência $\varphi^2$ , as potências superiores de $\varphi$ podem ser expressas da forma $a\varphi + b$ , em que $a$ e $b$ são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

$\varphi^2$	$\varphi^3$	$\varphi^4$	$\varphi^5$	$\varphi^6$	$\varphi^7$
$\varphi + 1$	$2\varphi + 1$	$3\varphi + 2$	$5\varphi + 3$	$8\varphi + 5$	…

A potência $\varphi^7$ , escrita na forma $a\varphi + b$ ( $a$ e $b$ são inteiros positivos), é

A $5\varphi + 3$
B $7\varphi + 2$
C $9\varphi + 6$
D $11\varphi + 7$
E $13\varphi + 8$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $13φ+8$ .

A ideia: em vez de calcular uma potência enorme da razão áurea, use a identidade dada para reescrever cada potência como uma expressão de primeiro grau.

Resolução. Para facilitar a escrita, chame a razão áurea de $x$ . O enunciado informa que $x^2=x+1$ e apresenta a sequência até $x^6=8x+5$ .

Para chegar à potência seguinte, multiplique por $x$ :

$x^7=x(8x+5)=8x^2+5x$ .

Agora substitua $x^2$ por $x+1$ :

$x^7=8(x+1)+5x=13x+8$ .

Voltando ao símbolo da razão áurea, a expressão é a indicada na resposta. Repare também no padrão dos coeficientes: 1, 2, 3, 5, 8, 13. Cada novo número é a soma dos dois anteriores.

Onde a galera erra: escolher D, $11φ+7$ , tentando prolongar os coeficientes com acréscimos arbitrários, sem usar a identidade do enunciado.

Leve para a prova: quando uma potência satisfaz uma equação simples, substitua as potências maiores para reduzir o grau da expressão.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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