ENEM 2021 · Questão 142

Matemática e suas Tecnologias · Etapas em sequência: multiplique (ou use o complementar)

Dificuldade TRI: b = 2,88 (difícil)

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo.

A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$ . Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

A2.
B4.
C6.
D9.
E10.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: É mais simples calcular a chance de não pontuar: errar todos os dardos. Depois, subtraímos essa chance de 1.

Resolução. Como a probabilidade de errar um dardo é $\dfrac12$ , a de errar os $n$ lançamentos, supondo-os independentes, é $(\dfrac12)^n$ .

Assim, a chance de acertar pelo menos um é $1-(\dfrac12)^n$ . Queremos pelo menos $\dfrac9{10}$ :

$1-(\dfrac12)^n\ge\dfrac9{10}$ , ou seja, $(\dfrac12)^n\le\dfrac1{10}$ .

Com 3 dardos, a chance de errar todos é $\dfrac18$ , que ainda é maior que um décimo. Com 4, cai para $\dfrac1{16}$ , que já é menor. Portanto, quatro dardos bastam, e três não bastam.

Onde a galera erra: A alternativa E, 10, toma o denominador da fração $9/10$ como número de dardos. O número de tentativas aparece no expoente, não no denominador da meta.

Leve para a prova: “Pelo menos um acerto” costuma ser resolvido mais rápido por $1-P(\text{nenhum acerto})$ .

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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