A Escalada da MatemáticaQuestões resolvidas
O Impulso ENEM

Provas resolvidas › ENEM 2021

ENEM 2021 · Questão 152

Matemática e suas Tecnologias · sem padrão (conteúdo)

Dificuldade TRI: b = 4,97 (difícil)

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo △\triangle e estrela ∗*, definidas sobre o conjunto dos números reais por x△y=x2+xy−y2x\triangle y=x^2+xy-y^2 e x∗y=xy+xx*y=xy+x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada bb, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (a△b)∗(b△a)=0(a\triangle b)*(b\triangle a)=0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1b=1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

  1. A5\sqrt{5}
  2. B3\sqrt{3}
  3. C1\sqrt{1}
  4. D−1+52\frac{-1+\sqrt{5}}{2}
  5. E3+52\frac{3+\sqrt{5}}{2}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) 3+52\dfrac{3+\sqrt5}{2}.

A ideia: traduza as operações inventadas para expressões comuns e use o produto nulo; depois selecione as duas maiores raízes.

Resolução. Com b=1b=1, temos

a△1=a2+a−1a\triangle1=a^2+a-1 e 1△a=1+a−a21\triangle a=1+a-a^2.

A operação estrela satisfaz x∗y=x(y+1)x*y=x(y+1). Portanto,

(a△1)∗(1△a)=0(a\triangle1)*(1\triangle a)=0

vira (a2+a−1)(2+a−a2)=0(a^2+a-1)(2+a-a^2)=0.

No primeiro fator, as raízes são a=−1±52a=\dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}. No segundo, resolvendo a2−a−2=0a^2-a-2=0, encontramos a=2a=2 ou a=−1a=-1.

As duas maiores soluções são 22 e −1+52\dfrac{-1+\sqrt5}{2}, já que esta última é positiva e menor que 2.

Somando:

2+−1+52=3+522+\dfrac{-1+\sqrt5}{2}=\dfrac{3+\sqrt5}{2}.

Onde a galera erra: marcar D, apresentando apenas a segunda maior solução, sem somá-la à maior.

Leve para a prova: operações definidas no enunciado devem ser substituídas literalmente antes de resolver equações.

Vai fazer o ENEM?

O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

Falar com o Thiago