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ENEM 2021 · Questão 156

Matemática e suas Tecnologias · Dado o gráfico, determine a função

Dificuldade TRI: b = 2,33 (média)

Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição PP (em cm) da massa mm em função do tempo tt (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo P(t)=±Acos⁡(ωt)P(t)=\pm A\cos(\omega t) ou P(t)=±Asen⁡(ωt)P(t)=\pm A\operatorname{sen}(\omega t), em que A>0A>0 é a amplitude de deslocamento máximo e ω\omega é a frequência, que se relaciona com o período TT pela fórmula ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}.

Considere a ausência de quaisquer forças dissipativas.

Figura da questão
Figura da questão

A expressão algébrica que representa as posições P(t)P(t) da massa mm, ao longo do tempo, no gráfico, é

  1. A−3cos⁡(2t)-3\cos(2t)
  2. B−3sen⁡(2t)-3\operatorname{sen}(2t)
  3. C3cos⁡(2t)3\cos(2t)
  4. D−6cos⁡(2t)-6\cos(2t)
  5. E6sen⁡(2t)6\operatorname{sen}(2t)
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) −3cos⁡(2t)-3\cos(2t).

A ideia: o gráfico informa três características: amplitude, valor no instante zero e duração do ciclo. Com elas você determina o sinal e a frequência da função.

Resolução. No eixo vertical, a mola oscila de −3-3 até 33 cm. A amplitude é 3 cm, e não 6 cm: a distância entre extremos é o dobro da amplitude.

A curva começa no mínimo, P(0)=−3P(0)=-3. Como cos⁡(0)=1\cos(0)=1, a expressão deve ter cosseno com sinal negativo, não seno.

No gráfico, os máximos aparecem em t=π2t=\dfrac{\pi}{2} e t=3π2t=\dfrac{3\pi}{2}. A diferença entre eles é T=πT=\pi segundo. Assim,

w=2πT=2ππ=2w=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{\pi}=2.

Juntando as informações, P(t)=−3cos⁡(2t)P(t)=-3\cos(2t). A fórmula passa pelo mínimo inicial e atinge o máximo após meio período, como na figura.

Visualize:

Duas oscilações de −3 cos(2t), começando no mínimo −3. Dois máximos sucessivos estão separados por π segundo.

Onde a galera erra: marcar D, usando 6 como amplitude. Se os extremos são −3-3 e 33, a amplitude é metade da diferença, não a diferença inteira.

Leve para a prova: em oscilações, leia primeiro máximo, mínimo e intervalo entre dois picos consecutivos.

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