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ENEM 2021 · Questão 179

Matemática e suas Tecnologias · Escolher grupos: combinação, arranjo ou permutação?

Dificuldade TRI: b = 1,87 (média)

Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.

A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão

  1. A6!4!2!⋅15!10!5!\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{15!}{10!5!}
  2. B6!4!2!+15!10!5!\frac{6!}{4!2!}+\frac{15!}{10!5!}
  3. C6!2!+15!5!\frac{6!}{2!}+\frac{15!}{5!}
  4. D6!2!⋅15!5!\frac{6!}{2!}\cdot\frac{15!}{5!}
  5. E21!7!14!\frac{21!}{7!14!}
Ver a resposta e a resolução

Resposta: A

Resposta: (A) 6!4!2!⋅15!10!5!\frac{6!}{4!2!}\cdot\frac{15!}{10!5!}.

A ideia: escolher tecidos e pedras são duas decisões independentes; dentro de cada escolha, a ordem dos materiais não importa. Por isso aparecem duas combinações multiplicadas.

Resolução. A pessoa precisa selecionar 2 tipos de tecido entre 6 disponíveis. Como trocar a ordem dos dois tecidos não produz novos materiais, há (62)=6!4!2!\binom{6}{2}=\dfrac{6!}{4!2!} escolhas possíveis.

Em seguida, escolhe 5 tipos de pedras entre 15 diferentes. Também não há ordem: são (155)=15!10!5!\binom{15}{5}=\dfrac{15!}{10!5!} possibilidades.

Cada dupla de tecidos pode ser acompanhada de qualquer conjunto de cinco pedras, então usamos o princípio multiplicativo:

(62)⋅(155)\binom{6}{2}\cdot\binom{15}{5}.

Não precisamos desenvolver os fatoriais para reconhecer a expressão equivalente na alternativa.

Onde a galera erra: escolher (B), somando as combinações; uma fantasia exige tecidos e pedras simultaneamente, não uma escolha ou outra.

Leve para a prova: escolha de grupos sem ordem pede combinação; etapas independentes que acontecem juntas pedem multiplicação.

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O Impulso ENEM ensina a reconhecer os padrões que mais caem na prova de Matemática, com questões reais e a dificuldade de cada uma pela TRI. Me chama que eu te conto como funciona.

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