ENEM 2021 · PPL · Questão 154

Matemática e suas Tecnologias · Sombra ou cabos cruzados: semelhança de triângulos

Dificuldade TRI: b = 2,22 (média)

Uma indústria recortou uma placa de metal no formato triangular $ABC$ , conforme Figura 1, com lados 18, 14 e 12 cm.

Posteriormente, a peça triangular $ABC$ foi dobrada, de tal maneira que o vértice $B$ ficou sobre o segmento $\overline{AC}$ , e o segmento $\overline{DE}$ ficou paralelo ao lado $\overline{AC}$ , conforme Figura 2.

Sabe-se que, na Figura 1, o ângulo $A\hat{C}B$ é menor que o ângulo $C\hat{A}B$ e este é menor que o ângulo $A\hat{B}C$ , e que os cortes e dobraduras foram executados corretamente pelas máquinas.

Nessas condições, qual é o valor da soma dos comprimentos, em centímetro, dos segmentos $\overline{DB}$ , $\overline{BE}$ e $\overline{EC}$ ?

Ver a resposta e a resolução

Resposta: B

A ideia: A dobra paralela à base leva o vértice $B$ até $AC$ , fazendo a linha de dobra passar pelos pontos médios dos lados.

Resolução. Como $DE\parallel AC$ e a reflexão leva $B$ a $AC$ , $D$ e $E$ ficam na metade da altura do triângulo; portanto são pontos médios de $AB$ e $BC$ . Pela ordem dos ângulos $C<A<B$ , os lados opostos obedecem $AB<BC<AC$ . Assim $AB=12$ , $BC=14$ , $AC=18$ cm. Temos $DB=12/2=6$ , $BE=14/2=7$ e $EC=14/2=7$ . Soma: $6+7+7=20$ cm.

Visualize: Dobra do triângulo de lados AB12, BC14 e AC18 centímetros: D e E são pontos médios; B é refletido em AC. Na posição dobrada DB6, BE7 e EC7 centímetros. Coordenadas calculadas por interseção de círculos e reflexão.

Construção auxiliar de enem-2021ppl-q154

Onde a galera erra: Atribuir 18 cm ao lado $BC$ sem relacionar lados com os ângulos opostos.

Leve para a prova: O maior lado fica sempre oposto ao maior ângulo.

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