ENEM 2022 · Questão 141

Matemática e suas Tecnologias · Dá para contar os casos? (dados, urnas, sorteios, C(n,k))

Em um jogo de bingo, as cartelas contêm 16 quadrículas dispostas em linhas e colunas. Cada quadrícula tem impresso um número, dentre os inteiros de 1 a 50, sem repetição de número. Na primeira rodada, um número é sorteado, aleatoriamente, dentre os 50 possíveis. Em todas as rodadas, o número sorteado é descartado e não participa dos sorteios das rodadas seguintes. Caso o jogador tenha em sua cartela o número sorteado, ele o assinala na cartela. Ganha o jogador que primeiro conseguir preencher quatro quadrículas que formam uma linha, uma coluna ou uma diagonal, conforme os tipos de situações ilustradas na Figura 1.

O jogo inicia e, nas quatro primeiras rodadas, foram sorteados os seguintes números: 03, 27, 07 e 48. Ao final da quarta rodada, somente Pedro possuía uma cartela que continha esses quatro números sorteados, sendo que todos os demais jogadores conseguiram assinalar, no máximo, um desses números em suas cartelas. Observe na Figura 2 o cartão de Pedro após as quatro primeiras rodadas.

A probabilidade de Pedro ganhar o jogo em uma das duas próximas rodadas é

A $\frac{1}{46}+\frac{1}{45}$
B $\frac{1}{46}+\frac{2}{46\times45}$
C $\frac{1}{46}+\frac{8}{46\times45}$
D $\frac{1}{46}+\frac{43}{46\times45}$
E $\frac{1}{46}+\frac{49}{46\times45}$

Ver a resposta e a resolução

Resposta: E

Resposta: (E) $\frac{1}{46}+\frac{49}{46\times45}$

A ideia: Na cartela, o 12 completa imediatamente a linha de cima. Existem ainda dois pares de números que completariam uma coluna ou uma diagonal em dois sorteios.

Resolução. Após quatro rodadas, restam 46 números. Na quinta rodada, somente o 12 faz Pedro ganhar de imediato: probabilidade $\dfrac1{46}$ .

Se o 12 não sair na quinta, ele pode sair na sexta: são 45 escolhas possíveis para a quinta e depois uma para a sexta, dando $\dfrac{45}{46\cdot45}$ .

Além disso, a diagonal formada por 03 e 07 fica completa se saírem 11 e 19, em qualquer ordem: 2 sequências. A última coluna, que já tem 27 e 07, completa-se com 05 e 45, também em 2 ordens.

São mais 4 sequências favoráveis. Os demais jogadores tinham no máximo uma casa marcada; após duas rodadas, chegam a no máximo três e não podem vencer antes de Pedro. Portanto:

$P=\dfrac1{46}+\dfrac{45+4}{46\cdot45}=\dfrac1{46}+\dfrac{49}{46\cdot45}$ .

Visualize: Cartela fiel ao original, com 03,48,27,07 já marcados. O 12 completa a primeira linha; pares 11/19 e 05/45 completam diagonal e última coluna.

Construção auxiliar de enem-2022-q141

Onde a galera erra: A alternativa B conta somente duas ordens de um dos pares e também omite o caso em que o 12 sai na sexta rodada. É preciso considerar os dois pares e o 12 nas duas rodadas.

Leve para a prova: Em sorteios sem reposição, examine primeiro o que completa a figura em um lance e depois conte as ordens possíveis em dois lances.

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